Конус — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042378

Обозначу радиус основания $R$, образующую $l$, высоту $h$.

Площадь боковой поверхности конуса $S_{\text{бок}}=\pi Rl$, объём $V=\dfrac13\pi R^2h$. Составляю отношение из условия:

$$\dfrac{S_{\text{бок}}}{V}=\dfrac{\pi Rl}{\dfrac13\pi R^2h}=\dfrac{3l}{Rh}.$$

Образующая равна диаметру основания: $l=2R$. Подставляю:

$$\dfrac{3\cdot2R}{Rh}=\dfrac{6}{h}.$$

По условию это отношение равно $1{,}5$:

$$\dfrac{6}{h}=1{,}5\quad\Longrightarrow\quad h=\dfrac{6}{1{,}5}=4.$$

Проверка. При $l=2R$ высота $h=\sqrt{l^2-R^2}=R\sqrt3$, значит, $R=\dfrac{4}{\sqrt3}$, $l=\dfrac{8}{\sqrt3}$. Тогда $S_{\text{бок}}=\pi\cdot\dfrac{4}{\sqrt3}\cdot\dfrac{8}{\sqrt3}=\dfrac{32\pi}{3}$, $V=\dfrac13\pi\cdot\dfrac{16}{3}\cdot4=\dfrac{64\pi}{9}$, и $\dfrac{32\pi}{3}:\dfrac{64\pi}{9}=\dfrac{32}{3}\cdot\dfrac{9}{64}=1{,}5$ — как в условии.