Конус — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042377

Пусть хорда — $AB$, сечение — треугольник $ABC$, $H$ — середина $AB$. Стороны $CA$ и $CB$ — образующие, они равны $\dfrac83$, а угол между ними $60^\circ$, значит, треугольник $ABC$ равносторонний: $AB=\dfrac83$, $AH=\dfrac43$.

Радиус основания — катет прямоугольного треугольника $COA$:

$$OA^2=CA^2-CO^2=\dfrac{64}{9}-4=\dfrac{64-36}{9}=\dfrac{28}{9}.$$

Расстояние от центра до хорды: в равнобедренном треугольнике $AOB$ медиана $OH$ перпендикулярна $AB$, и

$$OH^2=OA^2-AH^2=\dfrac{28}{9}-\dfrac{16}{9}=\dfrac{12}{9}=\dfrac43,\qquad OH=\dfrac{2}{\sqrt3}.$$

Хорда $AB$ перпендикулярна и $OH$, и высоте $CO$, значит, она перпендикулярна всей плоскости $COH$. Тогда плоскость сечения $ABC$ (в ней лежит $AB$) перпендикулярна плоскости $COH$, и перпендикуляр из $O$ на плоскость сечения — это высота прямоугольного треугольника $COH$, опущенная на гипотенузу $CH$.

Гипотенуза: $CH=\sqrt{CO^2+OH^2}=\sqrt{4+\dfrac43}=\sqrt{\dfrac{16}{3}}=\dfrac{4}{\sqrt3}$.

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

$$d=\dfrac{CO\cdot OH}{CH}=\dfrac{2\cdot\dfrac{2}{\sqrt3}}{\dfrac{4}{\sqrt3}}=\dfrac{4}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}=1.$$

Проверка через объём тетраэдра $ABCO$, посчитанный двумя способами. С основанием $ABO$: $S_{ABO}=\dfrac12\cdot\dfrac83\cdot\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{8}{3\sqrt3}$, высота $CO=2$. С основанием $ABC$: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{64}{9}=\dfrac{16\sqrt3}{9}$, высота $d$. Из $S_{ABO}\cdot CO=S_{ABC}\cdot d$ получаю $d=\dfrac{16}{3\sqrt3}\cdot\dfrac{9}{16\sqrt3}=\dfrac{9}{9}=1$ — совпало.