Конус — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042376

Пусть $C$ — вершина конуса, $O$ — центр основания, $CO=4$ — высота, $OA=OB=\dfrac{4\sqrt{15}}{3}$ — радиусы, $H$ — середина хорды $AB$.

Сначала найду линейный угол между плоскостями. Треугольник $ABC$ равнобедренный ($CA=CB$ как образующие), поэтому медиана $CH$ перпендикулярна $AB$. Треугольник $ABO$ тоже равнобедренный ($OA=OB$), поэтому $OH\perp AB$. Значит, угол $CHO$ — линейный угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью основания.

Образующая по теореме Пифагора из треугольника $COA$:

$$CA=\sqrt{CO^2+OA^2}=\sqrt{16+\dfrac{16\cdot15}{9}}=\sqrt{\dfrac{144+240}{9}}=\dfrac{\sqrt{384}}{3}=\dfrac{8\sqrt6}{3}.$$

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол при вершине $60^\circ$, значит, он равносторонний: $AB=CA=\dfrac{8\sqrt6}{3}$, а $AH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{4\sqrt6}{3}$.

Отрезок $OH$ — катет прямоугольного треугольника $OHA$:

$$OH^2=OA^2-AH^2=\dfrac{240}{9}-\dfrac{96}{9}=\dfrac{144}{9}=16,\qquad OH=4.$$

В прямоугольном треугольнике $COH$ (прямой угол при $O$) тангенс угла $CHO$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$$\operatorname{tg}\angle CHO=\dfrac{CO}{OH}=\dfrac44=1,\qquad \angle CHO=45^\circ.$$

Проверка через синус: высота равностороннего треугольника $CH=CA\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{8\sqrt6}{3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{4\sqrt{18}}{3}=4\sqrt2$, и $\sin\angle CHO=\dfrac{CO}{CH}=\dfrac{4}{4\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ — снова $45^\circ$.