Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042485

Цилиндр вписан в призму: окружность основания вписана в ромб, а высота цилиндра равна высоте призмы $l$.

Боковая грань призмы параллельна оси и касается цилиндра по образующей. Расстояние между осью и диагональю боковой грани равно расстоянию от оси до плоскости грани, то есть радиусу: $r=5\sqrt2$.

Диаметр вписанной окружности равен высоте ромба: $h_{\text{р}}=2r=10\sqrt2$. Сторону ромба $a$ найду из угла $45^\circ$:

$$h_{\text{р}}=a\cdot\sin45^\circ\quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{10\sqrt2}{\frac{\sqrt2}{2}}=20.$$

Площадь ромба — сторона на высоту:

$$S_{\text{осн}}=20\cdot10\sqrt2=200\sqrt2.$$

Высота призмы из объёма:

$$l=\dfrac{120}{200\sqrt2}=\dfrac{3}{5\sqrt2}.$$

Полная поверхность цилиндра — два круга и боковая поверхность:

$$S=2\pi r^2+2\pi r l=2\pi\cdot50+2\pi\cdot5\sqrt2\cdot\dfrac{3}{5\sqrt2}=100\pi+6\pi=106\pi.$$

В ответ нужно $\dfrac{S}{\pi}=106$.

Проверка площади ромба другим способом: $a^2\sin45^\circ=400\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=200\sqrt2$ — совпадает.