Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042383

Пусть $ABCS$ — правильная пирамида, $H$ — центр основания, $SH=8$ — высота, $P$ — середина $BC$, $SP=10$ — апофема.

Центр вписанного в правильную пирамиду шара лежит на высоте $SH$, а точки касания с боковыми гранями лежат на апофемах. Поэтому достаточно рассмотреть сечение плоскостью $SHP$: в нём шар даёт окружность радиуса $r$ с центром $O$ на $SH$, касающуюся отрезка $HP$ (в точке $H$) и апофемы $SP$ (в точке $K$).

Отрезок $HP$ — катет прямоугольного треугольника $SHP$:

$$HP=\sqrt{SP^2-SH^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6.$$

Прямоугольные треугольники $SKO$ и $SHP$ подобны: у них общий острый угол при вершине $S$. Отсюда

$$\dfrac{OK}{HP}=\dfrac{SO}{SP}\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{r}{6}=\dfrac{8-r}{10}.$$

$$10r=48-6r\quad\Longrightarrow\quad16r=48\quad\Longrightarrow\quad r=3.$$

Проверка через биссектрису. Центр $O$ одинаково удалён от сторон угла $SPH$, значит, $PO$ — биссектриса треугольника $SPH$. Она делит сторону $SH$ в отношении прилежащих сторон: $\dfrac{OH}{OS}=\dfrac{PH}{PS}=\dfrac{6}{10}=\dfrac35$. Тогда $OH=8\cdot\dfrac{3}{8}=3$ — совпадает.