Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042388

Обозначу сторону основания $a$, высоту призмы $h$. Объём $V=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot h$, поэтому нужно найти $a$ и $h$.

Угол между $AB'$ и плоскостью $ACC'$. Пусть $M$ — середина $A'C'$. В правильном треугольнике $A'B'C'$ медиана $B'M$ перпендикулярна $A'C'$. Кроме того, $B'M$ лежит в верхнем основании, а боковое ребро $AA'$ перпендикулярно основанию, значит, $B'M\perp AA'$. Прямая $B'M$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым грани $ACC'A'$, поэтому $B'M$ — перпендикуляр к этой грани, а $AM$ — проекция $AB'$ на неё. Искомый угол — $\angle B'AM=45^\circ$.

Треугольник $AMB'$ прямоугольный (прямой угол при $M$) с углом $45^\circ$, значит, равнобедренный: $AM=B'M=\dfrac{\sqrt3}{2}a$.

С другой стороны, $AM$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $AA'M$ с катетами $h$ и $A'M=\dfrac a2$:

$$\dfrac{3a^2}{4}=h^2+\dfrac{a^2}{4}\quad\Longrightarrow\quad h^2=\dfrac{a^2}{2}.$$

Шар. Его центр $O$ — середина отрезка, соединяющего центры оснований $H$ и $H'$. Расстояние от $H'$ до вершины $B'$ — радиус окружности, описанной около основания, $\dfrac{a}{\sqrt3}$. По теореме Пифагора для треугольника $OH'B'$:

$$11=\left(\dfrac h2\right)^2+\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{a^2}{8}+\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{11a^2}{24}\quad\Longrightarrow\quad a^2=24.$$

Тогда $h^2=12$, $h=2\sqrt3$, и

$$V=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot24\cdot2\sqrt3=\dfrac{24\cdot2\cdot3}{4}=36.$$

Проверка угла: $AB'^2=a^2+h^2=24+12=36$, $AB'=6$; $B'M=\dfrac{\sqrt3}{2}\sqrt{24}=\dfrac{\sqrt{72}}{2}=3\sqrt2$; $\sin\angle B'AM=\dfrac{3\sqrt2}{6}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ — это $45^\circ$, как в условии.