Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042384

Пусть $ABCS$ — правильная пирамида со стороной основания $a$, $H$ — центр основания, $SH=h$ — высота, $P$ — середина $BC$, $SP$ — апофема.

Для правильного треугольника со стороной $a$: медиана $AP=\dfrac{\sqrt3}{2}a$, расстояние от центра до стороны $PH=\dfrac13AP=\dfrac{\sqrt3}{6}a$, до вершины $AH=\dfrac23AP=\dfrac{\sqrt3}{3}a$.

Угол наклона грани $BCS$ к основанию — это угол $SPH=60^\circ$ (обе прямые $SP$ и $HP$ перпендикулярны $BC$). Из прямоугольного треугольника $SHP$:

$$h=PH\cdot\operatorname{tg}60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{6}a\cdot\sqrt3=\dfrac{a}{2}.$$

Описанный шар. Его центр $O$ лежит на прямой $SH$ на расстоянии $35$ от $S$, поэтому $OH=|h-35|$ (центр может оказаться и под основанием). Теорема Пифагора для треугольника $AOH$:

$$(h-35)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{3}a\right)^2=35^2\quad\Longrightarrow\quad h^2-70h+\dfrac{a^2}{3}=0.$$

Подставляю $h=\dfrac a2$:

$$\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{a^2}{3}=35a\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{7a^2}{12}=35a\quad\Longrightarrow\quad a=\dfrac{35\cdot12}{7}=60.$$

Вписанный шар. Его центр $O'$ лежит на высоте $SH$ и одинаково удалён от основания и от грани $BCS$, значит, в сечении $SHP$ он лежит на биссектрисе угла $SPH$: $\angle O'PH=30^\circ$. Радиус — это $O'H$:

$$r=PH\cdot\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{6}a\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{a}{6}=\dfrac{60}{6}=10.$$

Проверка радиуса описанного шара: $h=30$, $AH=\dfrac{60}{\sqrt3}=20\sqrt3$, $AH^2=1200$. Центр на расстоянии $35-30=5$ под основанием, и $\sqrt{5^2+1200}=\sqrt{1225}=35$ — как в условии.