Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042375

Конус описан около пирамиды: вершина у них общая, а окружность основания конуса проходит через все три вершины основания пирамиды. Значит, радиус основания конуса $R$ — это радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $4\sqrt3$, а высота конуса совпадает с высотой пирамиды $h=3$.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, равен $\dfrac{a}{\sqrt3}$ (это две трети его медианы):

$$R=\dfrac{4\sqrt3}{\sqrt3}=4.$$

Образующую $l$ нахожу по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, где катеты — высота конуса и радиус основания, а гипотенуза — образующая:

$$l=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$$

Площадь боковой поверхности конуса равна $\pi Rl$:

$$S=\pi\cdot4\cdot5=20\pi,\qquad \dfrac{S}{\pi}=20.$$

Проверка радиуса другим способом: медиана треугольника $m=4\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=6$, две трети медианы — $\dfrac23\cdot6=4$, тот же радиус.