Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042387

Пусть $SABC$ — пирамида, ребро $SA\perp ABC$, $SA=2$, $AB=BC=CA=3$; $H$ — центр треугольника $ABC$, $M$ — середина $BC$.

Центр шара $O$ равноудалён от $A$, $B$, $C$, поэтому лежит на перпендикуляре к основанию, проходящем через $H$. С другой стороны, $O$ равноудалён от концов ребра $SA$, поэтому лежит в плоскости, перпендикулярной $SA$ и проходящей через его середину $N$. Эта плоскость параллельна основанию и находится на высоте $\dfrac{SA}{2}=1$. Значит, $OH=1$.

Расстояние от вершины до центра правильного треугольника — две трети медианы:

$$AM=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot3=\dfrac{3\sqrt3}{2},\qquad AH=\dfrac23\cdot\dfrac{3\sqrt3}{2}=\sqrt3.$$

Треугольник $AHO$ прямоугольный (прямой угол при $H$), по теореме Пифагора:

$$R^2=OA^2=OH^2+AH^2=1+3=4,\qquad R=2.$$

Проверка расстоянием до $S$: точка $S$ на высоте $2$ над $A$, центр $O$ на высоте $1$ над $H$, поэтому $OS^2=AH^2+(2-1)^2=3+1=4$, $OS=2$. И до $B$: $HB=AH=\sqrt3$, $OB^2=1+3=4$. Все расстояния равны $2$.