Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042382

Пусть $SABCD$ — пирамида, $H$ — центр квадрата $ABCD$, $SH=2$ — высота.

Все вершины квадрата одинаково удалены от любой точки прямой, проходящей через $H$ перпендикулярно основанию. Поэтому центр описанного шара $O$ лежит на прямой $SH$. Пусть $O$ находится на высоте $x$ над плоскостью основания (если $x\lt0$ — под основанием).

Расстояние от $H$ до вершины основания — половина диагонали квадрата: $HA=\dfrac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2$.

Приравниваю расстояния от $O$ до вершин $A$ и $S$:

$$OA^2=x^2+(2\sqrt2)^2=x^2+8,\qquad OS^2=(2-x)^2=4-4x+x^2.$$

$$x^2+8=4-4x+x^2\quad\Longrightarrow\quad 4x=-4\quad\Longrightarrow\quad x=-1.$$

Центр шара лежит на $1$ ниже основания, и радиус $R=OS=2-(-1)=3$. Проверю через $A$: $OA=\sqrt{1+8}=\sqrt9=3$.

Проверка другим способом. Шар пересекает плоскость $ASC$ по окружности, описанной около треугольника $ASC$, а центр шара лежит в этой плоскости, поэтому радиус этой окружности и есть $R$. Стороны: $AC=4\sqrt2$, $AS=CS=\sqrt{2^2+(2\sqrt2)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3$, площадь $\dfrac12\cdot4\sqrt2\cdot2=4\sqrt2$. По формуле $R=\dfrac{abc}{4S}$:

$$R=\dfrac{2\sqrt3\cdot2\sqrt3\cdot4\sqrt2}{4\cdot4\sqrt2}=\dfrac{12\cdot4\sqrt2}{16\sqrt2}=3.$$