Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042386

Пусть $H$ и $H'$ — центры оснований $MNP$ и $M'N'P'$.

Высота призмы. Ребро $NN'$ перпендикулярно основанию, поэтому угол между диагональю $MN'$ и основанием — это угол $N'MN=45^\circ$. Прямоугольный треугольник $MNN'$ с углом $45^\circ$ равнобедренный: $NN'=MN=12$.

Центр шара. Он равноудалён от вершин нижнего основания, значит, лежит на прямой $HH'$; он равноудалён и от $N$, и от $N'$, значит, лежит посередине между основаниями. Итак, $O$ — середина $HH'$, $OH=\dfrac{12}{2}=6$.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $12$: $HN=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3$.

Радиус шара — гипотенуза прямоугольного треугольника $OHN$:

$$R^2=OH^2+HN^2=36+48=84.$$

Площадь сферы $S=4\pi R^2$:

$$S=4\pi\cdot84=336\pi,\qquad\dfrac{S}{\pi}=336.$$

Проверка по-другому: квадрат радиуса шара равен четверти квадрата диагонали, соединяющей $N$ с точкой, симметричной $N$ относительно $O$. Эта точка лежит в верхнем основании на расстоянии $2\cdot4\sqrt3$ от $N'$ по горизонтали, то есть квадрат диагонали $12^2+(8\sqrt3)^2=144+192=336$, а $R^2=\dfrac{336}{4}=84$ — совпадает.