Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042385

Пусть в основании пирамиды $ABCS$ лежит треугольник со сторонами $AC=6$, $BC=8$, $AB=10$, а $SH=1$ — высота.

Боковые рёбра равны, поэтому равны и их проекции на основание: $HA=HB=HC$. Значит, $H$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Треугольник $ABC$ прямоугольный: $6^2+8^2=36+64=100=10^2$, прямой угол при $C$. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы, поэтому $H$ — середина $AB$ и $HA=HB=5$.

Центр описанного шара $O$ равноудалён от $A$, $B$, $C$, значит, лежит на перпендикуляре к основанию через $H$, то есть на прямой $SH$. Пусть $O$ на высоте $x$ над основанием. Приравниваю $OA$ и $OS$:

$$x^2+5^2=(1-x)^2\quad\Longrightarrow\quad x^2+25=1-2x+x^2\quad\Longrightarrow\quad x=-12.$$

Центр шара лежит на $12$ ниже основания, и $R=OS=1-(-12)=13$. Проверю через $A$: $\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$.

Проверка другим способом. Центр $O$ лежит в плоскости $ABS$ и равноудалён от $A$, $B$, $S$, значит, $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABS$. Боковое ребро $AS=BS=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$, площадь $S_{ABS}=\dfrac12\cdot10\cdot1=5$. По формуле $R=\dfrac{abc}{4S}$:

$$R=\dfrac{\sqrt{26}\cdot\sqrt{26}\cdot10}{4\cdot5}=\dfrac{260}{20}=13.$$