Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042362

Ребро $BS$ перпендикулярно плоскости основания, поэтому проекция ребра $FS$ на основание — отрезок $BF$. Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией, то есть $\angle BFS$.

Обозначу сторону шестиугольника $a$, тогда $BS=a$. Треугольник $SBF$ прямоугольный с прямым углом при $B$, и

$$\operatorname{tg}\angle BFS=\dfrac{BS}{BF}=\dfrac{a}{BF}.$$

Найду $BF$ из треугольника $ABF$: $AB=AF=a$, угол правильного шестиугольника $\angle BAF=120^\circ$. По теореме косинусов:

$$BF^2=a^2+a^2-2a^2\cos120^\circ=2a^2+a^2=3a^2,\qquad BF=a\sqrt3.$$

Тогда

$$\operatorname{tg}\angle BFS=\dfrac{a}{a\sqrt3}=\dfrac{1}{\sqrt3},\qquad \angle BFS=30^\circ.$$

Проверка $BF$ другим путём: $BE$ — большая диагональ шестиугольника, $BE=2a$, а угол $BFE$ прямой (он опирается на диаметр $BE$ описанной окружности). Тогда $BF=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt3$ — совпадает.