Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042363

Две боковые грани, перпендикулярные основанию, должны быть соседними (у противоположных граней общей прямой нет). Пусть это $SAB$ и $SAD$. Прямая их пересечения $SA$ перпендикулярна основанию — это высота, обозначу $SA=h$.

Грань $SBC$: $AB$ — проекция наклонной $SB$, $AB\perp BC$, значит, по теореме о трёх перпендикулярах $SB\perp BC$. Линейный угол при ребре $BC$ — $\angle SBA$. Аналогично для грани $SCD$ линейный угол — $\angle SDA$.

Пусть $\angle SBA=45^\circ$, $\angle SDA=30^\circ$. Из прямоугольных треугольников $SAB$ и $SAD$:

$$AB=\dfrac{h}{\operatorname{tg}45^\circ}=h,\qquad AD=\dfrac{h}{\operatorname{tg}30^\circ}=h\sqrt3.$$

Площадь основания:

$$AB\cdot AD=h^2\sqrt3=36\sqrt3\quad\Rightarrow\quad h^2=36,\quad h=6.$$

Объём:

$$V=\dfrac13\cdot36\sqrt3\cdot6=72\sqrt3,\qquad V\sqrt3=72\cdot3=216.$$

Проверка: $AB=6$, $AD=6\sqrt3$, произведение $36\sqrt3$ — площадь из условия; если углы поменять местами, $h$ и $V$ не изменятся.