Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042361

Ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания, поэтому $BC$ — проекция наклонной $SC$. В прямоугольнике $BC\perp CD$, и по теореме о трёх перпендикулярах $SC\perp CD$.

Значит, $BC$ (в основании) и $SC$ (в грани $SCD$) — перпендикуляры к общей прямой $CD$, и $\angle SCB$ — угол между плоскостями $SCD$ и $ABC$: $\angle SCB=30^\circ$.

Треугольник $SBC$ прямоугольный с прямым углом при $B$ ($SB$ перпендикулярен всей плоскости основания, в том числе прямой $BC$). Против угла $30^\circ$ лежит катет $SB$:

$$SB=SC\cdot\sin30^\circ=8\cdot\dfrac12=4,\qquad BC=SC\cdot\cos30^\circ=8\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3.$$

Площадь основания: $S_{ABCD}=BC\cdot CD=4\sqrt3\cdot6=24\sqrt3$.

Площадь грани: $S_{SBC}=\dfrac12\cdot SB\cdot BC=\dfrac12\cdot4\cdot4\sqrt3=8\sqrt3$.

Отношение:

$$\dfrac{S_{ABCD}}{S_{SBC}}=\dfrac{24\sqrt3}{8\sqrt3}=3.$$

Проверка в буквах: $\dfrac{BC\cdot CD}{\frac12\cdot SB\cdot BC}=\dfrac{2\cdot CD}{SB}=\dfrac{12}{4}=3$ — то же число.