Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042360

Пусть $SABCD$ — пирамида, $SH$ — высота. Все грани наклонены одинаково, значит, $H$ одинаково удалена от всех сторон ромба — это точка пересечения диагоналей ромба (центр вписанной окружности).

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: $AH=15$, $BH=20$. Сторона ромба по теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{625}=25.$$

Расстояние $HM$ от центра до стороны $AB$ — высота прямоугольного треугольника $AHB$, проведённая к гипотенузе. Запишу площадь этого треугольника двумя способами:

$$\dfrac12\cdot15\cdot20=\dfrac12\cdot25\cdot HM\quad\Rightarrow\quad HM=\dfrac{300}{25}=12.$$

По теореме о трёх перпендикулярах $SM\perp AB$, $\angle SMH=30^\circ$ — угол наклона грани. Апофема — гипотенуза треугольника $SHM$:

$$SM=\dfrac{HM}{\cos30^\circ}=\dfrac{12}{\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{24}{\sqrt3}=8\sqrt3.$$

Четыре боковые грани — равные треугольники с основанием $25$ и высотой $8\sqrt3$:

$$S=4\cdot\dfrac12\cdot25\cdot8\sqrt3=400\sqrt3.$$

В ответ нужно $S\sqrt3=400\sqrt3\cdot\sqrt3=400\cdot3=1200$.

Проверка через площадь проекции: площадь ромба $\dfrac12\cdot30\cdot40=600$, и $S=\dfrac{600}{\cos30^\circ}=\dfrac{1200}{\sqrt3}=400\sqrt3$ — то же.