Призма — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042338

Пусть сторона квадрата $a$. Выражу через $a$ длину $D'A$ и площади всех боковых граней.

Отрезок $D'A$ перпендикулярен основанию, значит, проекция точки $D'$ на основание — точка $A$, а проекция ребра $DD'$ — сторона $DA$. Угол наклона ребра — угол $D'DA=60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $D'AD$:

$$D'A=a\operatorname{tg}60^\circ=a\sqrt3,\qquad DD'=\dfrac{a}{\cos60^\circ}=2a.$$

Грани $AA'D'D$ и $BB'C'C$. Грань $AA'D'D$ содержит отрезок $D'A$, перпендикулярный $AD$, — это её высота к стороне $AD$. Площадь параллелограмма — сторона на высоту:

$$S_{AA'D'D}=a\cdot a\sqrt3=a^2\sqrt3.$$

Противолежащая грань $BB'C'C$ равна ей: $a^2\sqrt3$.

Грани $AA'B'B$ и $DD'C'C$. Прямая $AB$ перпендикулярна $AD$ (квадрат) и $D'A$ (он перпендикулярен основанию), значит, $AB$ перпендикулярна всей плоскости $AA'D'D$, а с ней и ребру $AA'$. Грань $AA'B'B$ — прямоугольник со сторонами $a$ и $AA'=2a$:

$$S_{AA'B'B}=a\cdot2a=2a^2,$$

и противолежащая грань $DD'C'C$ — тоже $2a^2$.

Площадь боковой поверхности:

$$2a^2\sqrt3+4a^2=2a^2(\sqrt3+2)=6(\sqrt3+2)\quad\Longrightarrow\quad a^2=3,\ a=\sqrt3.$$

$$D'A=a\sqrt3=\sqrt3\cdot\sqrt3=3.$$

Проверка подстановкой: при $a=\sqrt3$ грани дают $2\cdot3\sqrt3+4\cdot3=6\sqrt3+12=6(\sqrt3+2)$ — как в условии.