Призма — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042340

Объём призмы — площадь основания на высоту. Площадь основания известна, высоту найду через проекцию точки $B'$ на основание.

Пусть $O$ — проекция $B'$ на плоскость $ABC$. Опущу из $B'$ перпендикуляры $B'K$ на прямую $BA$ и $B'L$ на прямую $BC$. Прямоугольные треугольники $BB'K$ и $BB'L$ равны (общая гипотенуза $BB'$ и острый угол $45^\circ$), поэтому

$$BK=BL=4\cos45^\circ=2\sqrt2.$$

По теореме о трёх перпендикулярах $OK\perp BA$ и $OL\perp BC$. Прямоугольные треугольники $BOK$ и $BOL$ равны по гипотенузе $BO$ и катету $BK=BL$, поэтому $\angle OBK=\angle OBL$: точка $O$ лежит на биссектрисе угла $ABC$, и $\angle OBK=30^\circ$.

В треугольнике $BOK$:

$$BO=\dfrac{BK}{\cos30^\circ}=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt3/2}=\dfrac{4\sqrt2}{\sqrt3},\qquad BO^2=\dfrac{32}{3}.$$

Высота призмы — катет $B'O$ треугольника $BB'O$:

$$B'O^2=16-\dfrac{32}{3}=\dfrac{16}{3},\qquad B'O=\dfrac{4}{\sqrt3}.$$

Площадь правильного треугольника со стороной 4:

$$S=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot16=4\sqrt3.$$

$$V=S\cdot B'O=4\sqrt3\cdot\dfrac{4}{\sqrt3}=16.$$

Проверка формулой «трёх косинусов»: косинус угла между $BB'$ и $BA$ равен произведению косинуса угла наклона $\varphi$ ребра $BB'$ к основанию на косинус угла между проекцией $BO$ и $BA$. $\cos\varphi=\dfrac{\cos45^\circ}{\cos30^\circ}=\sqrt{\dfrac23}$, тогда $\sin\varphi=\dfrac{1}{\sqrt3}$ и высота $4\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}$ — та же.