В правильной призме MNPM'N'P' сторона основания равна 12, а диагональ грани MN' образует с плоскостью основания угол 45 в степени °. Найдите площадь сечения, проходящего через середину ребра NP параллельно плоскости MPP'.

Призма — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042336

Задание №3. Стереометрия

Призма

№2. Задание 3

ID: 00042336

В правильной призме $$MNPM'N'P'$$ сторона основания равна 12, а диагональ грани $$MN'$$ образует с плоскостью основания угол $45^\circ$ . Найдите площадь сечения, проходящего через середину ребра $$NP$$ параллельно плоскости $$MPP'$$ .

Источник: Сборник Геометрия МГУ

Решение

Сначала найду высоту призмы, затем построю сечение.

Ребро $$NN'$$ перпендикулярно основанию, поэтому проекция диагонали $$MN'$$ на основание — сторона $$MN$$ , и угол $N'MN=45^\circ$ . Прямоугольный треугольник $$MNN'$$ с острым углом $45^\circ$ равнобедренный:

$$$NN'=MN=12.$$$

Пусть $$K$$ — середина $$NP$$ . Плоскость $$MPP'$$ содержит боковое ребро $$PP'$$ , то есть стоит вертикально. Параллельная ей плоскость через $$K$$ тоже вертикальна и пересекает основание по прямой через $$K$$ , параллельной $$MP$$ .

В треугольнике $$MNP$$ прямая через середину стороны $$NP$$ , параллельная $$MP$$ , — средняя линия. Она проходит через середину $$L$$ стороны $$MN$$ , и

$LK=\dfrac12 MP=\dfrac{12}{2}=6.$

Сечение — прямоугольник $$LKK'L'$$ , где $$L'$$ и $$K'$$ — середины $$M'N'$$ и $$N'P'$$ . Его стороны: $$LK=6$$ и вертикальная сторона, равная высоте призмы 12.

$S=6\cdot12=72.$

Проверка. Сечение параллельно грани $$MPP'M'$$ площадью $12\cdot12=144$ и имеет ту же высоту, а нижняя сторона вдвое короче, поэтому площадь вдвое меньше: $$144:2=72$$ .

Ответ

Другие задания по теме «Призма» (8)