Призма — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042339

Для наклонной призмы удобна формула объёма через перпендикулярное сечение: $V=S_{\perp}\cdot L$, где $S_{\perp}$ — площадь сечения, перпендикулярного боковым рёбрам, а $L$ — длина бокового ребра.

Боковое ребро, высота и проекция ребра образуют прямоугольный треугольник с углом $45^\circ$ при основании:

$$L=\dfrac{\sqrt6}{\sin45^\circ}=\sqrt6\cdot\sqrt2=2\sqrt3.$$

Перпендикулярное сечение — треугольник. Его стороны лежат в боковых гранях и перпендикулярны рёбрам, то есть это высоты граней-параллелограммов, проведённые к боковому ребру. Площадь параллелограмма — ребро на высоту:

$$h_1=\dfrac{3}{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{2},\qquad h_2=\dfrac{6}{2\sqrt3}=\sqrt3.$$

Угол между этими сторонами — линейный угол между гранями, $120^\circ$. Площадь треугольника по двум сторонам и углу:

$$S_{\perp}=\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt3\cdot\sin120^\circ=\dfrac12\cdot\dfrac32\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{8}.$$

Объём:

$$V=\dfrac{3\sqrt3}{8}\cdot2\sqrt3=\dfrac{18}{8}=2{,}25.$$

Проверка другим способом. Объём треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от противолежащего ребра до плоскости этой грани. Расстояние от третьего ребра до грани площадью 6 — высота перпендикулярного сечения, опущенная на сторону $\sqrt3$: $\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\sin120^\circ=\dfrac34$. Тогда $V=\dfrac12\cdot6\cdot\dfrac34=2{,}25$ — совпадает.