Призма — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042337

Грани $AA'D'D$ и $AA'B'B$ пересекаются по ребру $AA'$. Построю линейный угол — два перпендикуляра к $AA'$ из одной точки, по одному в каждой грани.

Пусть сторона ромба $a$. Опущу из $B$ перпендикуляр $BK$ на прямую $AA'$. В прямоугольном треугольнике $ABK$ угол при $A$ равен $45^\circ$, поэтому

$$AK=BK=a\cos45^\circ=\dfrac{a}{\sqrt2}.$$

Опущу из $D$ перпендикуляр на $AA'$. Угол $A'AD$ тоже $45^\circ$ и $AD=a$, поэтому основание перпендикуляра лежит на том же расстоянии $\dfrac{a}{\sqrt2}$ от $A$ — это та же точка $K$, и $DK=\dfrac{a}{\sqrt2}$.

Значит, $BK\perp AA'$ и $DK\perp AA'$, а угол $BKD$ — линейный угол между гранями.

Треугольник $ABD$ имеет две стороны $a$ и угол $60^\circ$ между ними — он равносторонний, $BD=a$.

Сравню квадраты сторон треугольника $BKD$:

$$BK^2+DK^2=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}=a^2=BD^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, угол $BKD$ прямой, то есть $90^\circ$.

Проверка формулой трёх углов при вершине трёхгранного угла: косинус двугранного угла при ребре $AA'$ равен

$$\dfrac{\cos60^\circ-\cos45^\circ\cdot\cos45^\circ}{\sin45^\circ\cdot\sin45^\circ}=\dfrac{\frac12-\frac12}{\frac12}=0,$$

угол $90^\circ$ — совпадает.