Global EE

Задание 2 ЕГЭ по математике №00042473

Задание №2. Векторы

Векторы и операции с ними

№2. Задание 2

ID: 00042473

Даны точки $A(1;\,-2)$, $B(2;\,-1)$, $C(0;\,3)$, $D(4;\,1)$. Найдите координаты точки $M$ такой, что $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\vec 0$. В ответе запишите абсциссу точки $M$.

Источник: Сборник Геометрия МГУ

Решение

Обозначу $M(x;\,y)$. Координаты каждого вектора — из координат конца вычитаю координаты начала $M$:

$$\overrightarrow{MA}=(1-x;\,-2-y),\quad \overrightarrow{MB}=(2-x;\,-1-y),\quad \overrightarrow{MC}=(-x;\,3-y),\quad \overrightarrow{MD}=(4-x;\,1-y).$$

Сумма векторов равна нулю, когда равны нулю суммы и первых, и вторых координат. Для первых координат:

$$(1-x)+(2-x)+(-x)+(4-x)=7-4x=0\;\Rightarrow\;x=\dfrac74=1{,}75.$$

Для вторых: $(-2-y)+(-1-y)+(3-y)+(1-y)=1-4y=0$, то есть $y=0{,}25$. Точка $M(1{,}75;\,0{,}25)$, её абсцисса $1{,}75$.

Проверю по смыслу. Из равенства $4x=1+2+0+4$ видно, что абсцисса $M$ — среднее арифметическое абсцисс четырёх точек: $\dfrac{1+2+0+4}{4}=\dfrac74=1{,}75$. То же для ординат: $\dfrac{-2-1+3+1}{4}=\dfrac14$. Точка $M$ — «центр масс» четырёх точек, и ответ совпал.

Ответ

1,75
Другие задания по теме «Векторы и операции с ними» (8)