Задание 2 ЕГЭ по математике №00042469

Сначала выясню, что это за четырёхугольник, а потом найду площадь.

Сравню противоположные стороны как векторы (из координат конца вычитаю координаты начала):

$$\overrightarrow{AB}=(1-0;\,2-1)=(1;\,1),\qquad \overrightarrow{DC}=(2-1;\,1-0)=(1;\,1).$$

Векторы равны, значит, стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны, и $ABCD$ — параллелограмм.

Соседние стороны: $\overrightarrow{AD}=(1-0;\,0-1)=(1;\,-1)$. Длины $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ и $|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2$ равны — параллелограмм является ромбом.

Угол при вершине $A$: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=1\cdot1+1\cdot(-1)=0$, угол прямой. Ромб с прямым углом — квадрат.

Площадь квадрата — квадрат его стороны:

$$S=\left(\sqrt2\right)^2=2.$$

Проверю через диагонали: $\overrightarrow{AC}=(2;\,0)$ и $\overrightarrow{BD}=(0;\,-2)$, обе длины $2$, и они перпендикулярны. Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине их произведения: $\dfrac12\cdot2\cdot2=2$ — совпало.