Правильные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042464

Вершины правильного восьмиугольника лежат на описанной окружности и делят её на $8$ равных дуг по $\dfrac{360^\circ}{8}=45^\circ$.

Пусть $A_1$ и $A_3$ — вершины, соединённые диагональью через одну вершину $A_2$. Между ними две дуги по $45^\circ$, поэтому центральный угол $A_1OA_3$ равен $90^\circ$.

Треугольник $A_1OA_3$ прямоугольный и равнобедренный с катетами $OA_1=OA_3=R$. По теореме Пифагора

$$A_1A_3^2=R^2+R^2=2R^2\quad\Rightarrow\quad 36=2R^2,\qquad R^2=18.$$

Площадь круга $S=\pi R^2=18\pi$, и $\dfrac{S}{\pi}=18$.

Проверю другим способом — через сторону. Угол правильного восьмиугольника $\dfrac{180^\circ\cdot6}{8}=135^\circ$. В треугольнике $A_1A_2A_3$ две стороны равны стороне $a$, угол между ними $135^\circ$, поэтому $36=2a^2-2a^2\cos135^\circ=a^2\left(2+\sqrt2\right)$. Сторона связана с радиусом через центральный угол $45^\circ$: $a^2=2R^2-2R^2\cos45^\circ=R^2\left(2-\sqrt2\right)$. Перемножаю скобки: $\left(2+\sqrt2\right)\left(2-\sqrt2\right)=2$, значит, $36=2R^2$ и $R^2=18$ — совпадает.