Правильные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042319

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона многоугольника. Длина окружности $2\pi R$, и по условию

$$\dfrac{2\pi R}{a}=2\pi\quad\Rightarrow\quad a=R.$$

Соединю концы одной стороны $AB$ с центром $O$. В треугольнике $AOB$ все три стороны равны $R$, значит, он равносторонний и центральный угол $\angle AOB=60^\circ$.

Центральные углы, опирающиеся на стороны правильного многоугольника, одинаковые и вместе составляют полный оборот $360^\circ$. Число сторон:

$$n=\dfrac{360^\circ}{60^\circ}=6.$$

Проверю по формуле стороны правильного многоугольника $a=2R\sin\dfrac{180^\circ}{n}$: из $a=R$ получаем $\sin\dfrac{180^\circ}{n}=\dfrac12$. Угол $\dfrac{180^\circ}{n}$ при $n\geqslant3$ не больше $60^\circ$, поэтому он равен $30^\circ$, и $n=6$ — то же. Подстановкой: у шестиугольника $a=R$, отношение $\dfrac{2\pi R}{R}=2\pi$ — верно.