Правильные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042321

Пусть $ABCDEF$ — правильный шестиугольник со стороной $x$. Меньшая диагональ соединяет вершины через одну, например $AC$; большая соединяет противоположные вершины, например $AD$.

Внутренний угол правильного шестиугольника равен $\dfrac{180^\circ\cdot4}{6}=120^\circ$. В треугольнике $ABC$ стороны $AB=BC=x$ и угол $B=120^\circ$. По теореме косинусов:

$$AC^2=x^2+x^2-2x^2\cos120^\circ=2x^2+x^2=3x^2,\qquad AC=x\sqrt3.$$

По условию $x\sqrt3=5\sqrt3$, значит, $x=5$.

Большая диагональ проходит через центр $O$. Радиусы $OA$, $OB$, … делят шестиугольник на шесть равносторонних треугольников (угол при центре $60^\circ$), поэтому $OA=OD=x$ и

$$AD=2x=10.$$

Проверю: треугольник $ACD$ вписан в окружность и опирается на диаметр $AD$, значит, он прямоугольный с прямым углом $C$. По теореме Пифагора $AD^2=AC^2+CD^2=75+25=100$, $AD=10$ — совпало.