Правильные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042322

Обозначу радиус окружности $R$.

Шестиугольник. Радиусы, проведённые в вершины, делят его на шесть равносторонних треугольников со стороной $R$. Площадь каждого $\dfrac{\sqrt3}{4}R^2$, поэтому

$$S_6=6\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}R^2=\dfrac{3\sqrt3}{2}R^2.$$

Треугольник. Сторону правильного треугольника найду по теореме синусов: $a_3=2R\sin60^\circ=R\sqrt3$. Площадь

$$S_3=\dfrac{\sqrt3}{4}a_3^2=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot3R^2=\dfrac{3\sqrt3}{4}R^2.$$

Отношение:

$$\dfrac{S_6}{S_3}=\dfrac{3\sqrt3}{2}:\dfrac{3\sqrt3}{4}=2.$$

Проверю без формул. Поставлю треугольник в вершины шестиугольника через одну: $ACE$ в шестиугольнике $ABCDEF$ (вершины треугольника тоже лежат на окружности, так что это тот же вписанный треугольник). Шестиугольник складывается из треугольника $ACE$ и трёх «уголков» $ABC$, $CDE$, $EFA$. Центр $O$ делит треугольник $ACE$ на три треугольника $AOC$, $COE$, $EOA$. Четырёхугольник $ABCO$ — ромб (все стороны равны $R$), и диагональ $AC$ делит его на два равных треугольника: $S_{ABC}=S_{AOC}$. Так же для двух других «уголков». Значит, «уголки» вместе равны треугольнику $ACE$, и шестиугольник вдвое больше треугольника — совпало.