Правильные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042320

Диаметр описанной окружности квадрата — это его диагональ (прямой угол квадрата вписан и опирается на диаметр), а диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата (окружность касается двух противоположных сторон).

Диагональ квадрата: $d=2\cdot10\sqrt2=20\sqrt2$. Сторона квадрата в $\sqrt2$ раз меньше диагонали (по теореме Пифагора $d^2=a^2+a^2=2a^2$):

$$a=\dfrac{20\sqrt2}{\sqrt2}=20.$$

Радиус вписанной окружности — половина стороны: $r=\dfrac{20}{2}=10$.

Проверю по-другому. Из центра квадрата проведу отрезок к вершине (это $R$) и к середине соседней стороны (это $r$). Получится прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой $R$ и катетом $r$, поэтому $r=R\cos45^\circ=10\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=10$ — то же.