Правильные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042318

Соединю центр $O$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ со всеми вершинами. Получится шесть равных равнобедренных треугольников с углом при вершине $\dfrac{360^\circ}{6}=60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ при вершине — равносторонний, поэтому сторона шестиугольника равна радиусу: $a=R=10\sqrt3$.

Возьму параллельные стороны $AF$ и $CD$. Диагональ $AD$ проходит через центр и равна диаметру: $AD=2R=20\sqrt3$. Угол $ACD$ вписанный и опирается на диаметр, значит, он прямой. Тогда $AC\perp CD$, а так как $AF\parallel CD$, то и $AC\perp AF$. Значит, длина $AC$ и есть расстояние между сторонами $AF$ и $CD$.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ACD$:

$$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{\left(20\sqrt3\right)^2-\left(10\sqrt3\right)^2}=\sqrt{1200-300}=\sqrt{900}=30.$$

Проверю другим способом. Расстояние между параллельными сторонами — это две высоты равностороннего треугольника со стороной $R$ (от центра до каждой из сторон):

$$2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot R=\sqrt3\cdot10\sqrt3=30.$$

Совпало.