Правильные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042323

Задача в два шага: по квадрату найти радиус окружности, а по радиусу вписанной окружности — площадь шестиугольника.

Квадрат. Окружность описана около квадрата, поэтому её диаметр — диагональ квадрата: $2r=a\sqrt2$, где $a=\sqrt[4]{12}$. Мне удобнее сразу квадрат радиуса:

$$r^2=\dfrac{2a^2}{4}=\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3.$$

Здесь $a^2=\left(\sqrt[4]{12}\right)^2=\sqrt{12}=2\sqrt3$.

Шестиугольник. Радиусы, проведённые в вершины, делят его на шесть равносторонних треугольников, а радиус вписанной окружности $r$ — высота каждого из них. Если сторона шестиугольника $b$, то $r=\dfrac{\sqrt3}{2}b$, откуда $b^2=\dfrac{4r^2}{3}=\dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Площадь шестиугольника — шесть равносторонних треугольников:

$$S=6\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}b^2=\dfrac{3\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{4\sqrt3}{3}=\dfrac{3\cdot4\cdot3}{2\cdot3}=6.$$

Проверю по формуле $S=p\cdot r$ (полупериметр на радиус вписанной окружности): $p=3b$, $S=3b\cdot r=3\cdot\dfrac{2r}{\sqrt3}\cdot r=2\sqrt3\,r^2=2\sqrt3\cdot\sqrt3=6$ — то же.