Правильные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042324

Отрезки $OA$ и $OB$ — радиусы описанной окружности двенадцатиугольника, поэтому $OA=OB=20$.

Двенадцать центральных углов, опирающихся на стороны, одинаковые и в сумме дают $360^\circ$:

$$\angle AOB=\dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ.$$

Расстояние от $A$ до отрезка $OB$ — длина перпендикуляра $AH$. Основание $H$ попадает на сам отрезок: $OH=20\cos30^\circ\approx17{,}3\lt20$. В прямоугольном треугольнике $AOH$ катет $AH$ лежит против угла $30^\circ$ и равен половине гипотенузы $OA$:

$$AH=OA\cdot\sin30^\circ=20\cdot\dfrac12=10.$$

Проверю через площадь треугольника $AOB$: $S=\dfrac12\cdot OA\cdot OB\cdot\sin30^\circ=\dfrac12\cdot20\cdot20\cdot\dfrac12=100$. С другой стороны, $S=\dfrac12\cdot OB\cdot AH=10\cdot AH$, откуда $AH=10$ — совпало.