Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042457

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD=10$ и $BC=4$, а $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Основания параллельны, поэтому $\angle OAD=\angle OCB$ и $\angle ODA=\angle OBC$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущих $AC$ и $BD$.

Значит, треугольники $AOD$ и $COB$ подобны по двум углам. Соответственные стороны: $AD$ и $CB$, $AO$ и $CO$, $DO$ и $BO$. Отсюда

$$\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{DO}{OB}=\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{10}{4}=2{,}5.$$

Обе диагонали делятся в одном и том же отношении $10:4=5:2$, считая от вершин большего основания. Больший отрезок примыкает к большему основанию и в $2{,}5$ раза длиннее меньшего.

В общем виде, как в исходной задаче: при основаниях $a$ и $b$ диагонали делятся в отношении $a:b$.

Проверю координатами. Положу $A(0;0)$, $D(10;0)$, $B(1;3)$, $C(5;3)$ — тогда $BC=4$. Точку $O$ ищу на $AC$ как $(5t;3t)$ и на $DB$ как $(10-9s;3s)$. Из вторых координат $t=s$, из первых $5t=10-9t$, $t=\dfrac{10}{14}=\dfrac57$. Значит, $AO:OC=\dfrac57:\dfrac27=5:2$, то есть $2{,}5$ — совпало.