Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042445

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD$ (большее) и $BC$, вписанная в окружность с центром $O$; по условию $\angle AOB=90^\circ$.

Центральному углу $AOB$ соответствует вписанный угол $ADB$, опирающийся на ту же дугу $AB$; вписанный угол вдвое меньше центрального: $\angle ADB=45^\circ$.

Опущу высоту $BH$ на основание $AD$, $BH=6$. Треугольник $BHD$ прямоугольный с углом $45^\circ$ при вершине $D$, значит, он равнобедренный: $HD=BH=6$.

В равнобедренной трапеции $AH=\dfrac{AD-BC}{2}$, поэтому $HD=AD-AH=\dfrac{AD+BC}{2}$ — это полусумма оснований (средняя линия).

Площадь трапеции — полусумма оснований, умноженная на высоту:

$$S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot BH=HD\cdot BH=6\cdot6=36.$$

Проверка через диагонали. Из симметрии равнобедренной трапеции $\angle DAC=\angle ADB=45^\circ$, поэтому диагонали пересекаются под углом $180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ$. Диагональ $BD=\dfrac{BH}{\sin45^\circ}=6\sqrt2$, и $AC=BD$. Площадь $S=\dfrac12\cdot6\sqrt2\cdot6\sqrt2\cdot\sin90^\circ=\dfrac12\cdot72=36$ — совпадает.

И общей формулой книги: $S=h^2\operatorname{ctg}\dfrac{\alpha}{2}=36\cdot\operatorname{ctg}45^\circ=36$. Такая трапеция существует, например, с основаниями $8$ и $4$ при высоте $6$.