Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042315

Пусть $ABCD$ — трапеция с большим основанием $AD=a$ и меньшим $BC=b$, а $KL$ — искомый отрезок: $K$ на $AB$, $L$ на $CD$, $KL\parallel AD$, $O\in KL$.

Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны (вертикальные углы при $O$ и накрест лежащие при параллельных основаниях), поэтому $\dfrac{OC}{AO}=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac ba$. По условию это отношение равно $\dfrac13$, значит, $a=3b$.

Средняя линия:

$$\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{3b+b}{2}=2b=\dfrac43\quad\Rightarrow\quad b=\dfrac23,\quad a=2.$$

Найду $KO$. Треугольник $AKO$ подобен треугольнику $ABC$, так как $KO\parallel BC$. Коэффициент подобия — отношение части диагонали ко всей диагонали: $AO:OC=3:1$, поэтому $\dfrac{AO}{AC}=\dfrac34$, и

$$KO=\dfrac34\cdot BC=\dfrac34\cdot\dfrac23=\dfrac12.$$

Так же треугольник $DOL$ подобен треугольнику $DBC$ с коэффициентом $\dfrac{DO}{DB}=\dfrac34$, поэтому $OL=\dfrac34\cdot BC=\dfrac12$.

$$KL=KO+OL=\dfrac12+\dfrac12=1.$$

Проверю с другой стороны. Треугольник $BKO$ подобен треугольнику $BAD$ с коэффициентом $\dfrac{BO}{BD}=\dfrac14$, поэтому $KO=\dfrac14\cdot AD=\dfrac14\cdot2=\dfrac12$ — то же. И по общей формуле для такого отрезка $KL=\dfrac{2ab}{a+b}=\dfrac{2\cdot2\cdot\frac23}{\frac83}=\dfrac{8/3}{8/3}=1$ — совпало.