Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042314

Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны: углы при $O$ вертикальные, а $\angle OAD=\angle OCB$ как накрест лежащие при $AD\parallel BC$. Обозначу коэффициент подобия

$$k=\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{DO}{OB}.$$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: $S_{AOD}=k^2\cdot S_{BOC}=2k^2$.

Теперь боковые треугольники. У треугольников $AOB$ и $COB$ общая высота из вершины $B$ на прямую $AC$, поэтому их площади относятся как основания $AO:OC=k$: $S_{AOB}=k\cdot S_{BOC}=2k$. Точно так же $S_{COD}=2k$.

Площадь трапеции — сумма четырёх треугольников:

$$2+2k+2k+2k^2=2\left(1+2k+k^2\right)=2(1+k)^2=128.$$

Отсюда $(1+k)^2=64$, и так как $k\gt0$, то $1+k=8$, $k=7$.

$$S_{AOD}=2\cdot7^2=98.$$

Проверю по-другому: площади боковых треугольников равны и каждая есть среднее геометрическое площадей треугольников у оснований, $S_{AOB}=S_{COD}=\sqrt{2\cdot98}=14$. Сумма $2+98+14+14=128$ — совпадает с площадью трапеции. И $k=7\gt1$, то есть $AD\gt BC$, как в условии.