Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042458

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD=17$ и $BC=9$, $M$ — середина боковой стороны $AB$, $P$ и $Q$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $MP$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$, значит, это средняя линия треугольника: $MP\parallel BC$ и

$$MP=\dfrac{BC}{2}=\dfrac92=4{,}5.$$

В треугольнике $BAD$ отрезок $MQ$ соединяет середины сторон $BA$ и $BD$: $MQ\parallel AD$ и

$$MQ=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{17}{2}=8{,}5.$$

Через точку $M$ проходит только одна прямая, параллельная основаниям, — прямая средней линии трапеции. Поэтому $P$ и $Q$ лежат на ней, причём по одну сторону от $M$, и

$$PQ=MQ-MP=8{,}5-4{,}5=4.$$

В общем виде, как в исходной задаче: $PQ=\dfrac{a-b}{2}$ — полуразность оснований.

Проверю координатами: $A(0;0)$, $D(17;0)$, $B(2;6)$, $C(11;6)$ — тогда $BC=9$. Середина $AC$ — точка $P(5{,}5;3)$, середина $BD$ — точка $Q(9{,}5;3)$. Расстояние $PQ=9{,}5-5{,}5=4$ — совпало.