Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042452

Пусть данные окружности имеют центры $O$ и $Q$ и радиусы $4$ и $9$, а $AB$ — отрезок их общей внешней касательной ($A$ и $B$ — точки касания). Искомая окружность радиуса $x$ с центром $C$ зажата между двумя окружностями и этим отрезком и касается его в точке $T$.

Сначала одна вспомогательная формула. Пусть две окружности радиусов $p$ и $q$ касаются друг друга внешним образом и обе касаются одной прямой. Расстояние между их точками касания с прямой обозначу $t$. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны прямой, поэтому центры и точки касания образуют прямоугольную трапецию. Опущу перпендикуляр из одного центра на радиус другого — получится прямоугольный треугольник с гипотенузой $p+q$ (расстояние между центрами) и катетами $t$ и $|p-q|$:

$$t^2=(p+q)^2-(p-q)^2=4pq\ \Rightarrow\ t=2\sqrt{pq}.$$

Применяю её трижды. Для двух данных окружностей:

$$AB=2\sqrt{4\cdot9}=2\cdot6=12.$$

Для малой окружности и окружности радиуса $4$: $AT=2\sqrt{4x}=4\sqrt x$. Для малой и окружности радиуса $9$: $TB=2\sqrt{9x}=6\sqrt x$.

Точка $T$ лежит между $A$ и $B$, поэтому $AT+TB=AB$:

$$4\sqrt x+6\sqrt x=12\ \Rightarrow\ 10\sqrt x=12\ \Rightarrow\ \sqrt x=1{,}2\ \Rightarrow\ x=1{,}44.$$

Сверю с общей формулой книги $x=\dfrac{Rr}{(\sqrt R+\sqrt r)^2}$: $\dfrac{9\cdot4}{(3+2)^2}=\dfrac{36}{25}=1{,}44$ — то же.

И проверю координатами. Положу касательную на ось абсцисс, $A=(0;0)$: тогда $O=(0;4)$, $Q=(12;9)$, а центр малой окружности $C=(4\sqrt x;\,x)=(4{,}8;\,1{,}44)$.

Расстояние $OC$: $OC^2=4{,}8^2+(4-1{,}44)^2=23{,}04+6{,}5536=29{,}5936=5{,}44^2$, и $5{,}44=4+1{,}44$ — касание есть.

Расстояние $QC$: $QC^2=(12-4{,}8)^2+(9-1{,}44)^2=51{,}84+57{,}1536=108{,}9936=10{,}44^2$, и $10{,}44=9+1{,}44$ — тоже касание.