Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042449

Обозначу центры: $O$ — центр меньшей окружности (радиус $2$), $Q$ — центр большей (радиус $3$). Окружности касаются внешним образом, поэтому расстояние между центрами равно сумме радиусов: $OQ=2+3=5$, и точка касания $A$ лежит на отрезке $OQ$.

Кроме касательной через $A$, у окружностей есть ещё две общие касательные — внешние. Пусть первая внешняя касательная касается окружностей в точках $D$ (меньшей) и $K$ (большей), а точка $B$ — её пересечение с касательной через $A$.

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Из точки $B$ к меньшей окружности проведены касательные $BD$ и $BA$, к большей — $BK$ и $BA$. Поэтому $BD=BA=BK$, то есть $B$ — середина отрезка $DK$ и

$$BA=\dfrac{DK}{2}.$$

По той же причине для второй внешней касательной $CA$ равна половине её отрезка между точками касания. Картинка симметрична относительно прямой $OQ$, поэтому оба отрезка внешних касательных равны $DK$, а $B$ и $C$ лежат по разные стороны от $A$:

$$BC=BA+AC=\dfrac{DK}{2}+\dfrac{DK}{2}=DK.$$

Найду $DK$. Радиусы $OD$ и $QK$ перпендикулярны касательной $DK$. Опущу из $O$ перпендикуляр $OH$ на радиус $QK$. Получится прямоугольник $ODKH$, поэтому $OH=DK$ и $HK=OD=2$, а $QH=3-2=1$.

В прямоугольном треугольнике $OQH$ по теореме Пифагора:

$$OH^2=OQ^2-QH^2=5^2-1^2=24.$$

Значит, $BC^2=DK^2=OH^2=24$.

Проверю другим способом. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе. Лучи $BO$ и $BQ$ — биссектрисы двух смежных углов при вершине $B$ (между $BA$ и $BD$ и между $BA$ и $BK$), а биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Значит, $\angle OBQ=90^\circ$, и $BA$ — высота прямоугольного треугольника $OBQ$, проведённая к гипотенузе.

Высота к гипотенузе — среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы: $BA^2=OA\cdot AQ=2\cdot3=6$. Тогда $BC^2=(2\cdot BA)^2=4\cdot6=24$ — совпало.