Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042444

Пусть $F$ — вершина угла, $A$ и $B$ — центры меньшей (радиус $r$) и большей (радиус $R$) окружностей, $C$ и $D$ — их точки касания с одной стороной угла.

Центры окружностей, вписанных в угол, лежат на его биссектрисе. Окружности касаются друг друга внешним образом (одна внутри другой оказаться не может — обе касаются обеих сторон), поэтому $AB=R+r$.

Проведу через $A$ прямую, параллельную стороне $FD$, до пересечения с радиусом $BD$ в точке $H$. Тогда $ACDH$ — прямоугольник, $HD=AC=r$ и $BH=R-r$.

Угол $BAH$ равен углу между биссектрисой и стороной (соответственные углы при параллельных прямых), то есть $\dfrac{60^\circ}{2}=30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $BAH$ катет $BH$ лежит против угла $30^\circ$:

$$\dfrac{BH}{AB}=\sin30^\circ,\qquad \dfrac{R-r}{R+r}=\dfrac12.$$

Отсюда $2R-2r=R+r$, $R=3r$, и отношение $\dfrac Rr=3$.

Проверка другим способом. Расстояние от вершины до центра окружности, вписанной в угол $60^\circ$, — гипотенуза треугольника с катетом-радиусом против угла $30^\circ$, то есть удвоенный радиус: $FA=2r$, $FB=2R$. Разность этих расстояний — отрезок между центрами: $2R-2r=R+r$, $R=3r$ — то же.

И общей формулой книги: $\dfrac{1+\sin30^\circ}{1-\sin30^\circ}=\dfrac{1{,}5}{0{,}5}=3$.