Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042438

Проведу через $P$ диаметр. Точка $P$ делит его на отрезки $5-4=1$ и $5+4=9$.

Хорды $AB$ и этот диаметр пересекаются в точке $P$, а для пересекающихся хорд произведения отрезков равны:

$$AP\cdot PB=1\cdot9=9.$$

Пусть $AP=x$, тогда $PB=7{,}5-x$ и

$$x(7{,}5-x)=9\quad\Leftrightarrow\quad x^2-7{,}5x+9=0.$$

Дискриминант $7{,}5^2-4\cdot9=56{,}25-36=20{,}25=4{,}5^2$, корни $x=\dfrac{7{,}5\pm4{,}5}{2}$, то есть $6$ и $1{,}5$.

Хорда делится на части $6$ и $1{,}5$, большая из них равна $6$.

Проверю другим способом. Перпендикуляр $OH$ из центра на хорду делит её пополам: $AH=HB=3{,}75$. Из прямоугольного треугольника $OHA$: $OH^2=25-3{,}75^2=25-14{,}0625=10{,}9375$. Из прямоугольного треугольника $OHP$: $HP^2=16-10{,}9375=5{,}0625$, $HP=2{,}25$. Части хорды: $3{,}75+2{,}25=6$ и $3{,}75-2{,}25=1{,}5$ — совпадает.