Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042443

Пусть $A$ — центр окружности радиуса $4$, $B$ — центр окружности радиуса $9$, $C$ и $D$ — точки касания общей внешней касательной с этими окружностями. Длина касательной — это отрезок $CD$.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $AC\perp CD$ и $BD\perp CD$. Значит, $AC\parallel BD$, и $ACDB$ — прямоугольная трапеция.

Опущу из $A$ перпендикуляр $AF$ на радиус $BD$. Тогда $ACDF$ — прямоугольник: $AF=CD$ и $DF=AC=4$, поэтому $BF=9-4=5$.

Окружности касаются внешним образом, поэтому расстояние между центрами равно сумме радиусов: $AB=4+9=13$.

В прямоугольном треугольнике $ABF$ по теореме Пифагора:

$$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.$$

Значит, $CD=AF=12$.

Проверка общей формулой: $AB^2-BF^2=(R+r)^2-(R-r)^2=4Rr$, поэтому длина общей внешней касательной равна $2\sqrt{Rr}=2\sqrt{36}=12$ — совпадает.