Прямая AC пересекает окружность в точках D и C, а прямая AB — касательная к окружности, B — точка касания. Найдите AD, если AB равно 6, CD равно 5. Если возможных значений несколько, в ответе запишите наибольшее из них.

Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042437

Задание №1. Планиметрия

Касательная, хорда, секущая

№2. Задание 1

ID: 00042437

Прямая $$AC$$ пересекает окружность в точках $$D$$ и $$C$$ , а прямая $$AB$$ — касательная к окружности, $$B$$ — точка касания. Найдите $$AD$$ , если $$AB=6$$ , $$CD=5$$ . Если возможных значений несколько, в ответе запишите наибольшее из них.

Источник: Сборник Геометрия МГУ

Решение

Из точки $$A$$ к окружности проведены касательная $$AB$$ и секущая, которая пересекает окружность в точках $$C$$ и $$D$$ . По теореме о касательной и секущей квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть.

Отрезок $$CD=5$$ — это часть секущей между двумя точками окружности (хорда). А вот какая из точек $$C$$ , $$D$$ ближе к $$A$$ , условие не говорит, поэтому разберу оба случая.

Случай 1: точка $$D$$ лежит между $$A$$ и $$C$$ . Тогда $$AD=x$$ — внешняя часть секущей, а вся секущая $$AC=x+5$$ :

$x(x+5)=36,\qquad x^2+5x-36=0.$

Дискриминант $$D=25+144=169$$ , $\sqrt{D}=13$ , положительный корень $x=\dfrac{-5+13}{2}=4$ . Значит, $$AD=4$$ .

Случай 2: точка $$C$$ лежит между $$A$$ и $$D$$ . Тогда $$AD=x$$ — вся секущая, а внешняя часть $$AC=x-5$$ :

$x(x-5)=36,\qquad x^2-5x-36=0.$

Дискриминант снова $$169$$ , положительный корень $x=\dfrac{5+13}{2}=9$ . Значит, $$AD=9$$ .

Оба случая возможны: это одна и та же картинка (внешняя часть $$4$$ , вся секущая $$9$$ ), только буквы $$C$$ и $$D$$ поставлены у разных концов хорды. Возможные значения $$AD$$ — $$4$$ и $$9$$ , наибольшее из них $$9$$ .

Проверка: $4\cdot9=36=6^2$ . Кроме того, внешняя часть $$4$$ короче касательной $$6$$ , а вся секущая $$9$$ длиннее — так и должно быть.

Ответ

Другие задания по теме «Касательная, хорда, секущая» (8)