Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042441

Обозначу $BE=x$. Тогда $CE=2x$, а из $AB:EC=7:2$ получаю $AB=\dfrac72\cdot2x=7x$. Значит, $AE=AB+BE=8x$.

Из точки $E$ к окружности проведены две секущие $EBA$ и $ECD$. По теореме о секущих $EB\cdot EA=EC\cdot ED$:

$$x\cdot8x=2x\cdot ED\quad\Rightarrow\quad ED=4x.$$

В треугольнике $AED$ известны $AE=8x$, $ED=4x$ и косинус угла между ними. Теорема косинусов:

$$AD^2=64x^2+16x^2-2\cdot8x\cdot4x\cdot\dfrac{11}{16}=80x^2-44x^2=36x^2,\qquad AD=6x.$$

Теперь косинус угла $ADE$ — снова по теореме косинусов, угол лежит против стороны $AE$:

$$\cos\angle ADE=\dfrac{DE^2+DA^2-AE^2}{2\cdot DE\cdot DA}=\dfrac{16x^2+36x^2-64x^2}{2\cdot4x\cdot6x}=\dfrac{-12x^2}{48x^2}=-\dfrac14=-0{,}25.$$

Проверю другим способом. Треугольники $EBC$ и $EDA$ подобны: угол $E$ общий и $\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{EC}{EA}=\dfrac14$. Поэтому угол $EBC$ равен углу $EDA$. В треугольнике $EBC$: $EB=x$, $EC=2x$, $BC^2=x^2+4x^2-2\cdot x\cdot2x\cdot\dfrac{11}{16}=5x^2-2{,}75x^2=2{,}25x^2$, $BC=1{,}5x$, и

$$\cos\angle EBC=\dfrac{x^2+2{,}25x^2-4x^2}{2\cdot x\cdot1{,}5x}=\dfrac{-0{,}75}{3}=-0{,}25$$

— совпадает.