Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042447

Главный инструмент здесь — длина хорды через угол между касательной и этой хордой. Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. А по теореме синусов любая хорда окружности радиуса $r$ равна $2r$, умноженному на синус вписанного угла, опирающегося на неё.

Первая окружность (радиус $2$) касается прямой $AC$ в точке $A$ и проходит через $B$, то есть $AB$ — её хорда. Угол между касательной $AC$ и хордой $AB$ — это угол $A$ треугольника (или смежный с ним — синус у них одинаковый). Получаю

$$AB=2\cdot2\cdot\sin A=4\sin A.$$

Точно так же для второй окружности (радиус $3$) с хордой $BC$ и касательной $AC$ в точке $C$:

$$BC=2\cdot3\cdot\sin C=6\sin C.$$

Теперь теорема синусов для самого треугольника $ABC$: стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, $\dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{BC}{\sin A}$. Подставляю найденные выражения:

$$\dfrac{4\sin A}{\sin C}=\dfrac{6\sin C}{\sin A}.$$

Перемножаю крест-накрест: $4\sin^2A=6\sin^2C$. Синусы углов треугольника положительны, поэтому

$$\dfrac{\sin A}{\sin C}=\sqrt{\dfrac64}=\dfrac{\sqrt6}{2}.$$

Сторона $AC$ лежит против угла $B=\dfrac{\pi}{6}=30^\circ$, и $\sin30^\circ=\dfrac12$. Ещё раз теорема синусов: $\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}$, откуда

$$AC=\dfrac{AB\cdot\sin B}{\sin C}=\dfrac{4\sin A\cdot\dfrac12}{\sin C}=2\cdot\dfrac{\sin A}{\sin C}=2\cdot\dfrac{\sqrt6}{2}=\sqrt6.$$

Значит, $AC^2=6$.

Проверю другим путём — через радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. По теореме синусов $AB=2R\sin C$ и $BC=2R\sin A$. Перемножу эти равенства и сравню с произведением хорд:

$$(4\sin A)\cdot(6\sin C)=(2R\sin C)\cdot(2R\sin A)\ \Rightarrow\ 24=4R^2\ \Rightarrow\ R^2=6.$$

А сторона $AC=2R\sin30^\circ=R$, поэтому $AC^2=R^2=6$ — совпало.