Касательная,… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042450

Обозначу центры: $O$ — центр меньшей окружности (радиус $2$), $Q$ — большей (радиус $7$). При внешнем касании $OQ=2+7=9$. Пусть внешняя общая касательная касается окружностей в точках $A$ (меньшей) и $B$ (большей), а $D$ лежит на ней.

Искомое $OD$ — гипотенуза треугольника $OAD$: радиус $OA=2$ перпендикулярен касательной в точке касания. Значит, не хватает только длины $AD$.

Отрезки касательных из одной точки равны. Из $D$ к меньшей окружности проведены $DA$ и $DC$, к большей — $DB$ и $DC$. Поэтому $DA=DC=DB$, и $D$ — середина отрезка $AB$: $AD=\dfrac{AB}{2}$.

Найду $AB$. Радиусы $OA$ и $QB$ перпендикулярны прямой $AB$. Опущу из $O$ перпендикуляр $OH$ на радиус $QB$: четырёхугольник $ABHO$ — прямоугольник, поэтому $OH=AB$ и $BH=OA=2$, значит, $QH=7-2=5$.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $OQH$:

$$AB^2=OH^2=OQ^2-QH^2=9^2-5^2=81-25=56.$$

Тогда $AD^2=\dfrac{AB^2}{4}=\dfrac{56}{4}=14$.

Теорема Пифагора в треугольнике $OAD$:

$$OD^2=OA^2+AD^2=4+14=18.$$

Проверю другим способом. Лучи $DO$ и $DQ$ — биссектрисы смежных углов $ADC$ и $BDC$ (центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе), поэтому $\angle ODQ=90^\circ$. Касательная $DC$ перпендикулярна линии центров, значит, $DC$ — высота прямоугольного треугольника $ODQ$, а $OC=2$ — проекция катета $OD$ на гипотенузу $OQ=9$.

Катет — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией: $OD^2=OC\cdot OQ=2\cdot9=18$ — совпало.