Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042427

Обозначу $S=S_{MOC}$ и выражу через $S$ площади всех нужных треугольников.

Треугольники $OBC$ и $MOC$ имеют общую вершину $C$, а их основания $BO$ и $OM$ лежат на одной прямой. Значит, площади относятся как основания:

$$\dfrac{S_{OBC}}{S_{MOC}}=\dfrac{BO}{OM}=3,\qquad S_{OBC}=3S.$$

Треугольники $ABO$ и $OBC$ имеют общую сторону $BO$ и равные углы при вершине $B$ ($BM$ — биссектриса). Площади треугольников с равными углами относятся как произведения сторон, образующих эти углы:

$$\dfrac{S_{ABO}}{S_{OBC}}=\dfrac{AB\cdot BO}{BC\cdot BO}=\dfrac69=\dfrac23,\qquad S_{ABO}=\dfrac23\cdot3S=2S.$$

Треугольники $AMO$ и $ABO$ имеют общую вершину $A$, их основания $OM$ и $BO$ лежат на одной прямой: $S_{AMO}=\dfrac13S_{ABO}=\dfrac23S$.

Треугольник $ACO$ составлен из треугольников $AMO$ и $MOC$:

$$S_{ACO}=\dfrac23S+S=\dfrac53S.$$

Сравниваю: $S_{ABO}=2S$, $S_{BCO}=3S$, $S_{ACO}=\dfrac53S$. Так как $\dfrac53\lt2\lt3$, наибольшая площадь у треугольника $BCO$, наименьшая — у $ACO$.

$$\dfrac{S_{BCO}}{S_{ACO}}=\dfrac{3S}{\frac53S}=\dfrac95=1{,}8.$$

Проверю через высоты. Точка $O$ делит $BM$ так, что $OM=\dfrac14BM$, поэтому расстояние от $O$ до прямой $AC$ в четыре раза меньше, чем от $B$, и $S_{ACO}=\dfrac14S_{ABC}$. Сумма трёх площадей равна площади всего треугольника: $2S+3S+\dfrac53S=\dfrac{20}{3}S$, а $\dfrac53S$ — это ровно четверть от $\dfrac{20}{3}S$. Сходится.