Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042421

Прямая $MN$ отсекает треугольник $MBN$, подобный треугольнику $ABC$: угол $B$ общий, $\angle BMN=\angle BAC$ как соответственные при $MN\parallel AC$ и секущей $AB$. Коэффициент подобия $k=\dfrac{BM}{BA}$.

Равновеликие части — это части равной площади. Значит, $S_{MBN}=\dfrac12S_{ABC}$, и так как отношение площадей подобных треугольников равно $k^2$, получаю $k^2=\dfrac12$, $k=\dfrac{1}{\sqrt2}$.

Отсюда $BA=\sqrt2\cdot BM$. Но $BA=BM+MA$, поэтому $MA=BA-BM=(\sqrt2-1)\,BM$.

Значит, прямая делит боковую сторону, считая от вершины, в отношении

$$\dfrac{BM}{MA}=\dfrac{1}{\sqrt2-1}=\dfrac{\sqrt2+1}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}=\dfrac{\sqrt2+1}{2-1}=\sqrt2+1.$$

Теперь $BM=(\sqrt2+1)\cdot AM=(\sqrt2+1)(3\sqrt2-3)=3(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)=3\cdot(2-1)=3$.

Проверка: $AB=BM+AM=3+3\sqrt2-3=3\sqrt2$, тогда $\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{3}{3\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}$, и отношение площадей $\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2=\dfrac12$ — прямая действительно делит площадь пополам.