Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042425

$K$ — середина $AC$, $L$ — середина $AB$, $M$ — точка пересечения медиан.

Сначала заменю четырёхугольник на треугольник попроще. Медиана делит треугольник на две части равной площади, поэтому $S_{ABK}=\dfrac S2$ и $S_{BCL}=\dfrac S2$, где $S$ — площадь треугольника $ABC$. Из каждой половины вырежу треугольник $BML$:

$$S_{AKML}=S_{ABK}-S_{BML}=\dfrac S2-S_{BML},\qquad S_{BMC}=S_{BCL}-S_{BML}=\dfrac S2-S_{BML}.$$

Значит, $S_{AKML}=S_{BMC}$, и искать нужно площадь треугольника $BMC$ с прямым углом при вершине $M$.

Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении $2:1$, считая от вершины. Обозначу $MK=x$, $ML=y$, тогда $BM=2x$, $CM=2y$.

Треугольник $BML$ прямоугольный (угол $M$ прямой), его гипотенуза $BL=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{10}$. По теореме Пифагора:

$$4x^2+y^2=10.$$

Треугольник $CMK$ тоже прямоугольный, его гипотенуза $CK=\dfrac{AC}{2}=\dfrac52$:

$$x^2+4y^2=\dfrac{25}{4}.$$

Сложу уравнения: $5x^2+5y^2=\dfrac{65}{4}$, то есть $x^2+y^2=\dfrac{13}{4}$. Вычту это из первого уравнения: $3x^2=10-\dfrac{13}{4}=\dfrac{27}{4}$, $x^2=\dfrac94$, $x=\dfrac32$. Тогда $y^2=\dfrac{13}{4}-\dfrac94=1$, $y=1$.

Катеты треугольника $BMC$: $BM=2x=3$, $CM=2y=2$. Его площадь:

$$S_{BMC}=\dfrac12\cdot3\cdot2=3.$$

Значит, и $S_{AKML}=3$.

Проверю по общей формуле. Для произвольных $AC=b$, $AB=c$ та же система даёт $S_{AKML}=\dfrac{1}{30}\sqrt{(4b^2-c^2)(4c^2-b^2)}$. При $b^2=25$, $c^2=40$: $(100-40)(160-25)=60\cdot135=8100$, $\sqrt{8100}=90$, $\dfrac{90}{30}=3$ — совпало. Подстановка в систему: $4\cdot\dfrac94+1=10$ и $\dfrac94+4=\dfrac{25}{4}$ — верно.