Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042422

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними: $S=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A$. Стороны $AB$ и $AC$ не меняются, меняется только угол.

Исходная площадь: $S_1=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\dfrac{\pi}{3}$.

После удвоения угла: $S_2=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\dfrac{2\pi}{3}$.

Отношение новой площади к исходной: $\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{\sin\frac{2\pi}{3}}{\sin\frac{\pi}{3}}$.

По формуле приведения $\sin(\pi-x)=\sin x$, поэтому $\sin\dfrac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Значит, $\dfrac{S_2}{S_1}=1$ — площадь не изменится.

Проверю через высоту. Основание $AC$ одно и то же. Высота из вершины $B$ на прямую $AC$ равна $AB\cdot\sin\angle A$. При угле $60^\circ$ это $AB\cdot\sin60^\circ$. При угле $120^\circ$ основание высоты попадает на продолжение $AC$ за точку $A$, и в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $AB$ угол при $A$ равен смежному $180^\circ-120^\circ=60^\circ$, так что высота снова $AB\cdot\sin60^\circ$. Основание и высота прежние — площадь та же.