Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042423

Пусть $BE=x$, $AE=3x$, то есть $AB=4x$; и $DC=y$, $AD=2y$, то есть $AC=3y$.

Проведу отрезок $BD$. Треугольники $ABD$ и $ABC$ имеют общую вершину $B$ и основания $AD$ и $AC$ на одной прямой, поэтому их площади относятся как основания:

$$S_{ABD}=\dfrac{AD}{AC}\cdot S_{ABC}=\dfrac{2y}{3y}\cdot S_{ABC}=\dfrac23S_{ABC}.$$

Треугольники $BDE$ и $ABD$ имеют общую вершину $D$ и основания $BE$ и $AB$ на одной прямой:

$$S_{BDE}=\dfrac{BE}{AB}\cdot S_{ABD}=\dfrac{x}{4x}\cdot\dfrac23S_{ABC}=\dfrac16S_{ABC}.$$

Значит, $\dfrac{S_{ABC}}{S_{BDE}}=6$.

Проверю другим разрезом. По формуле с синусом угла $A$: $S_{ADE}=\dfrac12\cdot AE\cdot AD\cdot\sin A=\dfrac34\cdot\dfrac23\cdot\left(\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\right)=\dfrac12S_{ABC}$. Тогда $S_{BDE}=S_{ABD}-S_{ADE}=\dfrac23S_{ABC}-\dfrac12S_{ABC}=\dfrac16S_{ABC}$ — то же самое.